NWD i NWW

OOO... kiedy to było ? W podstawówce, może jeszcze ktoś szczęśliwy miał w gimnazjum?

Z takim samym problemem spotkałam się na matematyce elementarnej na pierwszym roku studiów.

Ciemność, widzę ciemność, tyle w tym temacie umiałam powiedzieć. Jeśli macie tak samo warto sobie to powtórzyć, no więc zaczynamy

NWD - co to jest?
Największy Wspólny Dzielnik. Jak sama nazwa wskazuje bierzemy z obu liczb największą liczbą która dzieli obydwie.
NWD(4,2)=2
NWD(15,5)=5
NWD(24,18)=6

24=12*2=3*2*2*2
18=2*9=2*3*3

Gdy rozłożymy sobie nasze obie liczby na czynniki pierwsze (patrz jednoznaczność rozkładu na liczby pierwsze), mamy prostą sytuacje

Patrzymy co wspólnego przy rozkładzie ma liczba 24 i 18. Zauważamy, ze jest to: "2*3". Więc NWD=6

W ten sposób jesteśmy w stanie policzyć NWD bardzo dużych liczb np:

NWD(1300005,134)

NWW- a to co to?

Najmniejsza Wspólna Wielokrotność, o ile dzielnik nam coś mówi w swojej nazwie i możemy mniej więcej wyczuć jaki będzie wynik, to tutaj jest misz masz, ale nie taki straszny diabeł jak go malują :)

Po prostu bierzemy RAZ to co mają obie liczby i mnożymy przez to czym się różnia

czyli nasz poprzedni przykład:

24=2*2*2*3

18=2*3*3

co jest takie same? 2*3

co jest różne? 2*2 (w 24) oraz 3 (w 18)

Zapisujemy NWW=(2*3)*(2*2)*(3)=2*3*2*2*3=72

Zadanie wykonane.

Do liczenia NWW oraz NDW przydaje się również wzór:

 

  

Liczby pierwsze - rozkład (TW)

Co to jest za dziwny twór w matematyce uczymy się chyba już nawet w 4 klasie. Jednak nie każdy rozumie ich prawdziwą istotę.

Osobą interesującym się szerzej matematyką polecam film (który się opiera na liczbach pierwszych) :

FILM

A my w tym czasie przejdźmy do właściwej definicji:

Liczba pierwsza to liczba dzieląca się przez 1 i przez samą siebie.

Początkowe liczby pierwsze znaleźć jest prosto 2,3,5,7,11,13,... (przypominam, ze 0, 1 to nie są liczby pierwsze), ale im dalej tym gorzej (jak ze wszystkim).

do szukania liczb pierwszych może służyć również Sito Eratostenesa.

Dla większej ilości liczb sito wygląda w ten sposób:

Dla osób zainteresowanych: LICZBY PIERWSZE



Ważnym twierdzeniem w tym temacie jest Twierdzenie o jednoznaczności rozkładu liczby:

Każdą liczbę naturalną możemy przedstawić w sposób jednoznaczny za pomocą liczb pierwszych.

Co to na prawdę oznacza?
Zobaczmy na przykładzie:



Liczbę 1000 możemy zapisać tylko w jeden sposób ze pomocą liczb pierwszych, właśnie w taki jak powyżej.

Ten rozkład jest przydatny przy szukaniu np NWD bądź NWW.

Jest to jednak wierzchołek góry lodowej w zastosowaniach liczb pierwszych...

Działania na zbiorach

Gdy już wiemy co to jest zbiór, możemy przejść do działań na nich.

Znamy już działania na liczbach, dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie.
Po co się ograniczać jedynie do liczb, zacznijmy działania na zbiorach.

Działać będziemy na dowolnych zbiorach A i B,

Dodawanie, czyli suma zbiorów:

Są to elementy, które należą co najmniej do jednego ze zbioru A lub B

Mnożenie, czyli część wspólna:

Są to elementy, które jednocześnie należą do A i do B

Odejmowanie, czyli różnica zbiorów:

Są to elementy które należą do jednego zbioru, ale nie należą do drugiego zbioru.

Wyróżniamy jeszcze inne działania na zbiorach, Wy jeszcze powinniście znać dopełnienie zbioru (na rozszerzeniu):

jest to cała przestrzeń.

   - czyli są to elementy, które znajduję się wszędzie, tylko nie w A.

Zbiory

Co nazywamy zbiorem?

Na przykład gdy weźmiemy wszystkie wasze skarpetki, jakie posiadacie i wrzucimy do jednego worka, wtedy będziemy mieli zbiór skarpetek
albo gdy kupimy paczkę papierosów, w niej mamy jakiś zbiór papierosów.

Są to po prostu pewne elementy w "worku"

Oczywiście nie jest to pełna definicja, ale tyle w tym temacie w zupełności wystarczy na poziomie szkoły ponadgimnazjalnej.

Oznaczenie:
zbiory oznaczamy dużymi literami: A,B,C,D,...
zaś ich elementy małymi: a,b,c,d
-> czytamy: element a należy do zbioru A.

Przykładamy zbiorów, które Was obowiązują są:

(1) Liczby Naturalne 0,1,2,3,4,5, ... (czasami nie bierzemy zera jako liczbę naturalna, jest to "widzimi się" danego nauczyciela lub podręcznika. Tak i tak jest dobrze, wiec nie kłócić się z nauczycielem, jak powie Wam, że zero to nie jest liczba naturalna.

(2) Liczby Całkowite ...,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,... są to po prostu liczby naturalne i liczby naturalne z przeciwnym znakiem.

(3) Liczby Wymierne - to takie liczby które jesteśmy w stanie zapisać za pomocą ułamka  , gdzie p oraz q są całowite.

(4) Liczby niewymierne, analogicznie - nie da się ich przedstawić w postaci ułamka  , gdzie p oraz q są całowite.
 Do takich liczb należą: 

(5) Liczby Rzeczywiste - które definiujemy jako zbiór wszystkich powyższych liczb.

Na powyższym schemacie występują nieco inne oznaczenia, niż te szkolne

N-liczby naturalne

Z- liczby Całkowite (od niemieckiego słowa Zahl-całość), w szkole możecie to oznaczać jako "C" - nikt Wam krzywdy nie zrobi.

Q- liczby wymierne, w szkole możecie oznaczać to jako "W"

IQ - liczby nie wymierne, w szkole "NW"

R- liczby rzeczywiste

Wzory skróconego mnożenia - jak je tworzyć

Wzory skróconego mnożenia są niezwykle przydatne, od teraz wszystko będzie się kręcić w okół nich. Nie należy się jednak ich uczyć bez zrozumienia na pamięć, pomyli Wam się plus z minusem i kaplica...

Zrozumienie, skąd się wzięły owe wzory pozwoli Wam na szybsze i lepsze zapamiętanie. Do tego będzie pomocny nam Trójkąt Pascala

Jak narysować Trójkąt Pascala?

Gdy już mamy narysowany trójkąt, możemy bez problemu dzięki niemu rozwinąć dowolnie dużą potęgę do wzoru skróconego mnożenia.
Przyjrzyjmy się na przykład sumie dwóch liczb podniesionych do piątej potęgi:

Co z tym robimy? postępujemy najpierw zgodnie ze znanym schematem, czyli mówiąc potocznie, zaczynamy z "x" w największej potędze (w naszym przypadku w 5) i zmniejszamy potęgę z każdym krokiem, za to potęgi y zwiększamy, aż do wyczerpania zapasów (czyli do 5 w naszym przypadku), jak to na prawdę wygląda? zobaczmy:

Zauważmy również, że x i y  w największej potędze stoją samotnie(jest tak zawsze)

Co wstawić w miejsce kropek - O i tu właśnie przyda nam się Trójkąt Pascala, patrzymy na kolumnę oznaczoną piątką, czyli piątą od góry i czytamy jakie występują tam liczby: 1,5,10,10,5,1. Są to nasze współczynniki, które kolejno wpisujemy w miejsce kropek:

W ten sposób jesteśmy w stanie rozpisać każdy wzór.

Występuje też delikatna sprawa, a mianowicie : rozpatrywany przez nas przypadek, to suma i pewnie zastanawiacie się co się stanie, gdy zamiast dodawania będzie odejmowanie?

No więc sprawa jest prosta, tam gdzie występuje y w nieparzystej potędze będzie minus.
Dla piątki wygląda to dokładnie tak:

Poniżej przedstawiam wzory, które warto rozumieć skąd się wzięły, ale warto też je znać po prostu na pamieć. Zrozumienie trójkąta Pascala pozwoli Wam w razie wątpliwości sprawdzić poprawność ich zapisu.

1)Kwadrat sumy:

2)Kwadrat różnicy:

3)sześcian sumy:

4)sześcian różnicy:

5)różnica kwadratów (ten nie bierze się z Trójkąta Pascala, ale jest BARDZO ważny):

Trójkąt Pascala - jak go narysować

Jest to bardzo prosty schemat, który możecie zawsze wykonać z boku w trakcie kartkówki, sprawdzianu, a jest bardzo przydatny

1)Na samej górze piszemy "1"

2)schodzimy linijkę niżej - po prawej stronie jedynki piszemy kolejną jedynkę, oraz po lewej stronie również piszemy jedynkę

3)schodzimy linijkę niżej, między naszymi dwoma "NOWYMI" jedynkami zapisujemy ich sumę, czyli 1+1=2, po czym dopisuje z prawej i lewej strony jedynki

4)schodzimy linijkę niżej i sumujemy kolejno dwie sąsiednie liczby z górnej linijki,
1+2=3 oraz 2+1=3
po zakończeniu z prawej i lewej strony dopisujemy jedynki

5)czynność możemy powtarzać w nieskończoność :)

Trójkąt Pascala rozpisany do 9 rzędu wygląda dokładnie w ten sposób:

 Trójkąt Pascala jest pomocny między innymi przy wzorach skróconego mnożenia.


Prawda, że to nic trudnego?